图论中的基本概念
二分图:
一个图中的所有顶点可划分为两个不相交的集合 U 和 V ，使得每一条边都分别连接U、V中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。
匹配:
一个匹配就是一个边的集合，这个边集合中的任意两条边没有公共的顶点。
最大匹配:
一个图的所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。
最大匹配数:
最大匹配的匹配边的数目。
完美匹配:
如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。
最小顶点覆盖数:
选取最少的点，使二分图中任意一条边至少有一个端点被选择。最小覆盖要求用最少的点（U集合或V集合的都行）让每条边都至少和其中一个点关联。可以证明：最少的点（即覆盖数）＝最大匹配数
最大独立数:
选取最多的点，使任意所选两点均不相连。
最小路径覆盖数:
对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条数的路径，使得每个顶点属于且仅属于一条路径，路径长可以为 0（即单个点）。也就是说用尽量少的不相交简单路径覆盖DAG的所有结点。
一些性质:
定理1：最大匹配数=最小点覆盖数（Konig 定理）
定理2：最大匹配数=最大独立数
定理3：最小路径覆盖数=顶点数-最大匹配数
匈牙利算法中的基本概念
交替路:
从一个未匹配的点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边······这样形成的路径叫交替路。
增广路:
从一个未匹配的点出发，走交替路，如果路过一个未匹配的点（第一个点除外），这条交替路叫增广路。
增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。
我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。匈牙利算法正是这么做的，这也是算法的核心。
匈牙利匹配算法
论文:The Hungarian Method for the Assignment Problem
论文地址:https://web.eecs.umich.edu/~pettie/matching/Kuhn-hungarian-assignment.pdf 。
重要定理:
如果从一个点A出发，没有找到增广路径，那么无论再从别的点出发找到多少增广路径来改变现在的匹配，从点A出发都永远找不到增广路径。
匈牙利算法的核心思想:
初始时最大匹配为控，然后不断寻找增广路，并扩展增广路。不断重复这一过程直到找不到增广路为止。
如果二分图左半边U集合中共有n个点，那么最多找n条增广路径。如果图中共有m条边，那么每找一条增广路径（DFS或BFS）时最多把所有边遍历一遍，所花时间也就是m。所以总时间大概就是O（nm）。
使用DFS查找的匈牙利匹配算法流程:
从左边U集合找出第一个未匹配点（假设为点1）进行BFS边搜索，寻找一条未匹配边。如果找到一条未匹配边（假设为边1），这个边的另一头是右边V集合中的一个未匹配点（假设为点A），说明寻找成功。更新路径信息，匹配边数+1；
再找到左边U集合的第二个未匹配点（假设为点2），进行BFS边搜索。假如搜索到一条边（假设为边2），该边连接的另一个点V集合中前一轮已经匹配的点（点A），那么我们将边2作为点2和点A的未匹配边，然后对放弃的未匹配边（边1）的另一个点（点1）重新进行BFS边搜索（这次搜索跳过已经选择过的边1），寻找另一条未匹配边。假设我们找到了新的一条为匹配边（边3），该边连接点1和点C。
对于后面的每一轮，我们都从左边U集合中找出一个未匹配点x，然后进行BFS边搜索，如果搜到一条边，其另一点是V集合中前几轮中已经匹配的点y’，那么我们找到y’以前的未匹配边t，找到该边另一头属于左边U集合的点x’，对x’进行BFS边搜索（跳过前面已经选择的边），继续寻找未匹配边。如果x’BFS搜索到下一条边的另一点也是V集合中前几轮中已经匹配的点y’’，那么继续迭代执行上述过程。直到最后迭代找到的点的所有边都搜索过，且找不到为匹配边为止，此时我们就认为本轮最初选择的未匹配点x和点y’无法配对，我们不再从这个点x开始搜索。
匈牙利匹配算法举例
原始二分图中，集合U有点1、2、3、4，集合V中有点5、6、7、8，边有：1-5，1-6，2-5，3-6，3-8，4-7。
1---5
\ /
/ \
2 6
/
/
3 7
\ /
/ \
4 8
第一轮:
选取集合U中未匹配点1，进行BFS边搜索，找到第一条边1-5，5是集合V中未匹配点，这样我们找到了一条边，将集合U的未匹配点1和集合V的未匹配点5配对，我们用link[5] = 1来表示。
第二轮:
接着选取集合U中未匹配的点2，进行BFS边搜索，找到第一条边2-5，但关于5这个点前面已经标记了一个配对边1-5，那么我们再对原来的点1继续进行BFS边搜索，发现另一条边1-6，6是集合V中未匹配点，于是将集合U的未匹配点1和集合V的未匹配点6配对，用link[6] = 1表示，此时link[5] = 1不变，但是要注意它此时的含义是点2和点5配对。
第三轮:
接着选取集合U中未匹配的点3，进行BFS边搜索，找到第一条边3-6，由于link[6] = 1，于是向前找到原来与6配对的点1，对点1再做BFS边搜索，发现边1-5，但点5已经和点2配对了。那么再对点2做BFS边搜索，发现2只有边2-5，搜索到头了只能停止。因此点3不能和点6配对。
再找点3的第二条边，找到边3-8，8是集合V中未匹配点，这样我们将集合U的未匹配点3和集合V的未匹配点8配对，我们用link[8] = 1来表示。
第四轮:
接着选取集合U中未匹配点4，进行BFS边搜索，找到第一条边4-7，7是集合V中未匹配点，这样我们将集合U的未匹配点4和集合V的未匹配点7配对，我们用link[7] = 1来表示。
这样我们就找到了这个二分图的最大匹配。最大匹配中包含的边是1-6，2-5，3-8，4-7。
匈牙利匹配算法Python代码实现
from collections import deque
class HungarianAlgorithm(object):
def __init__(self, graph):
"""
这里的队列虽然用list也可以实现,但pop(0)的开销还是很大,因此还是用链式存储结构Deque
:param graph: 二分图的矩阵表示形式
"""
self.graph = graph
self.length = len(graph)
# x为输入的U集合中某个未匹配点，从V集合中寻找另一个未匹配点与其配对
def find(self, x):
for i in range(self.length):
# V集合中的点从第一个点开始遍历,如果两点之间有边且还没访问过V集合中这个点i
if self.graph[x][i] == 1 and not self.used[i]:
# 记录匹配边,放入交替路,记录V集合中的点i已访问过
self.used[i] = 1
# 如果点i之前已经访问过
# 如果V集合中的点i之前没有匹配过,或V集合中的点i之前匹配过,那么i的配对点为输入的x,x的配对点位i
if self.match[i] == -1 or self.find(self.match[i]) == 1:
# 那边令V集合的这个点匹配对象更新为x,
self.match[i] = x
self.match[x] = i
print(x + 1, '->', i + 1)
return 1
return 0
def hungarian1(self):
"""
递归形式的匈牙利匹配算法
:return:
"""
# 记录V集合中点的匹配情况的矩阵,一开始全初始化为-1,表示均未匹配
self.match = [-1] * self.length
# 记录是否访问过某个点(列表的某个元素,即矩阵的行向量)的矩阵,一开始全为False,表示全未访问过
self.used = [False] * self.length
m = 0
# 遍历所有U集合中的点(即列表的每个元素,每一个元素都是一个行向量,记录了这个U集合中的点与V集合中的哪些点有边)
for i in range(self.length):
# 如果U集合中第i个点还未匹配
if self.match[i] == -1:
# 令记录访问过的点记录的矩阵初始化,注意对U集合中每个未匹配点这个矩阵都要重新初始化一次
self.used = [False] * self.length
print("开始匹配U集合中第{}个点:".format(i + 1))
m += self.find(i)
# 返回的是最大匹配的边个数
return m
def hungarian2(self):
"""
循环形式的匈牙利匹配算法
:return:
"""
# 记录V集合中点的匹配情况的矩阵,一开始全初始化为-1,表示均未匹配
match = [-1] * self.length
# 记录是否访问过某个点(列表的某个元素,即矩阵的行向量)的矩阵,一开始全为False,表示全未访问过
used = [-1] * self.length
# 设置一个队列
q_list = deque()
# 记录最大匹配的边个数
ans = 0
# 代表上一个节点
prev = [0] * self.length
for i in range(self.length):
# 对U集合中第i个点,如果i还没有匹配过,清空队列,i假如队列
if match[i] == -1:
q_list.clear()
q_list.append(i)
# 设i为出发点
prev[i] = -1
# flag=False表示未找到增广路
flag = False
# 当队列不为空且还未找到增广路时
while len(q_list) > 0 and not flag:
# 队列左边出一个元素(即我们进队列的前面的点,最早进的点先出)
u = q_list.popleft()
# 查找V集合中的未匹配点
for j in range(self.length):
# 如果点U与V集合的点j有边且j的配对点不是i(即还未配对,或配对给其他点)
if not flag and self.graph[u][j] == 1 and used[j] != i:
# 配对
used[j] = i
# 如果u与j已经匹配过
if match[j] != -1:
# 把点j也加入队列
q_list.append(match[j])
# 记录点的顺序
prev[match[j]] = u
# 如果u与j没有匹配过,现在就开始匹配,且flag=True表示找到增广路
else:
flag = True
d = u
e = j
# 将原匹配的边去掉加入原来不在匹配中的边
while (d != -1):
t = match[d]
match[d] = e
match[e] = d
d = prev[d]
e = t
print('match:', match)
print('prev:', prev)
print('deque', q_list)
# 新增匹配边
if match[i] != -1:
ans += 1
# 返回的是最大匹配的边个数
return ans
# 二分图用矩阵形式存储,即有多少行U集合中集有几个点，有多少列V集合中就有几个点
# 两点之间如果有边则对应位置元素值为1(关于对角线对称)
graph_1 = [(0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0),
(0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0),
(0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0),
(0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1),
(1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0),
(0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0),
(1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0),
(0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0)]
def do_hungarian1(graph):
h = HungarianAlgorithm(graph)
# print(h.graph)
# print(h.length)
print("最大匹配边数:{}".format(h.hungarian1()))
def do_hungarian2(graph):
h = HungarianAlgorithm(graph)
# print(h.graph)
# print(h.length)
print("最大匹配边数:{}".format(h.hungarian2()))
do_hungarian1(graph_1)
do_hungarian2(graph_1)
运行结果如下:
开始匹配U集合中第1个点:
1 -> 5
开始匹配U集合中第2个点:
1 -> 7
2 -> 5
开始匹配U集合中第3个点:
3 -> 6
开始匹配U集合中第4个点:
4 -> 8
最大匹配边数:4
match: [4, -1, -1, -1, 0, -1, -1, -1]
prev: [-1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
deque deque([])
match: [6, 4, -1, -1, 1, -1, 0, -1]
prev: [1, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
deque deque([])
match: [6, 4, 5, -1, 1, 2, 0, -1]
prev: [1, 2, -1, 0, 0, 0, 0, 0]
deque deque([1])
match: [6, 4, 5, 7, 1, 2, 0, 3]
prev: [3, 2, -1, -1, 0, 0, 0, 0]
deque deque([0])
最大匹配边数:4
